Cho hàm số y=fx=x3+3x−4. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình fx3=fx+m3+m có đúng hai nghiệm phân biệt?

Đáp án B

Đặt u=fx+m3⇒u3=fx+m. Khi đó, fx3=u+m

⇒u3+u=fx3+fx          *

Xét hàm số gx=x3+x⇒g'x=3x2+1>0,∀x∈ℝ

⇒ Hàm số y=g(x) luôn đồng biến trên ℝ

⇔*⇔u=fx⇔fx3−m=fx⇔fx3−fx=m     **

Đặt t=fx⇒**⇔t3−t=m

Xét hàm số y=fx=x3+3x−4⇒f'x=3x2+3>0, ∀x∈ℝ

⇒ Hàm số y=f(x) luôn đồng biến trên ℝ

⇒ Mỗi giá trị của t cho duy nhất một nghiệm của phương trình x3+3x−4=t

⇒ Phương trình fx3=fx+m3+m có đúng hai nghiệm phân biệt thì phương trình t3−t=m có đúng hai nghiệm phân biệt.

Xét hàm số ft=t3−t⇒f't=3t2−1

f't=0⇔t=±13

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có phương trình t3−t=m có đúng hai nghiệm phân biệt ⇔m=±239.