Cho x, y là các số thực và x dương thỏa mãn log21−y2x=3(x+y2−1). Biết giá trị lớn nhất của biểu thức P=1−y2+9x2+18x2+y2+x bằng abc2 với a, b, c là các số nguyên tố. Tính giá trị của biểu thức T=a+b+c.

Đáp án D

Điều kiện: x>0y∈(−1;1). Khi đó điều kiện bài toán tương đương:

log2(1−y2)+3(1−y2)=log2x+3x⇔f(1−y2)=f(x) (*) với f(t)=log2t+t đồng biến trên (0;+∞).

Khi đó (*) ⇔1−y2=x, suy ra: P=x+9x2+18x2+1=19x2+1−x=1g(x) với x>0.

Xét hàm số g(x)=9x2+1−x với x>0.

Ta có: g'(x)=9x9x2+1−1=0⇔9x2+1=81x2→x>0x=212.

Lập bảng biến thiên, suy ra: min(0;+∞)g(x)=g212=223

Khi đó Pmax=1min(0;+∞)g(x)=322=3222=abc2⇒a=3b=c=2⇒T=7.