Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục [-3; 3]. Hình bên là đồ thị của hàm số y=f'(x). Biết f(1)=6 và f'(0)=3;f'(−2)=3,g(x)=f(x)−x+122. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Đáp án B

Từ giả thiết f(1)=6→g(1)=4.

Ta có g'(x)=f'(x)−(x+1);g'(x)=0⇔f'(x)=x+1

Ta thấy đường thẳng y=x+1 cắt đồ thị hàm số y=f'(x) tại các điểm có hoành độ -3; 1; 3.

Dựa vào đồ thị, ta có

Vì f'(0)=3;f'(−2)=3 nên ∫−31f'(x)−(x+1)dx>4⇔∫−31g'(x)dx>4⇔g(1)−g(−3)>4→g(−3)<0

Vì vế trái chính là diện tích một hình phẳng mà hình phẳng này chứa một hình vuông có diện tích bằng 4 với độ dài 2 cạnh là 2. ∫13(x+1)−f'(x)dx<4⇔−∫13g'(x)dx<4⇔−g(3)−g(1)<4→g(3)>0

Vì ∫13(x+1)−f'(x)dx<4 chính là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=f'(x);y=(x+1); mà hình phẳng này nằm trong một hình thang có diện tích bằng 4 với các thông tin về cạnh hình thang là: đáy lớn bằng 3, đáy nhỏ bằng 1, chiều cao bằng 2. Từ bảng biến thiên suy ra phương trình g(x) = 0 có đúng một nghiệm thuộc [-3; 3].