Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC), với α<450. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCD.

Đáp án C

Gọi D' là đỉnh thứ tư của hình bình hành SADD'.

Khi đó DD'//SA mà SA⊥SBC nên DD'⊥SBC.

Ta có SD,SBC^=α=DSD'^=SDA^, do đó SA=AD.tanα=2atanα.

Đặt tanα=x, x∈0;1.

Gọi H là hình chiếu của S lên AB, ta có VS.ABCD=13SH.SABCD=4a23.SH.

Do đó VS.ABCD đạt giá trị lớn nhất khi SH lớn nhất.

Vì △SAB vuông tại S nên SH=SA.ABAB=SAAB2−SA2AB=2ax4a2−4a2x22a=2ax1−x2≤2a.x2+1−x22=a.

Từ đó maxSH=a khi tanα=22.

Vậy maxVS.ABCD=13a.4a2=43a3.