Cho hàm số y = f(x) có f'x=xx+1x2−2mx+1,∀x∈ℝ với m là tham số thực. Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên m không vượt quáq 2023 cho hàm số gx=fx2−1 có 7 điểm cực trị?

Đáp án đúng là: A.

gx=fx2−1⇒g'x=2x⋅f'x2−1=2xx2−1x2x2−12−2mx2−1+1

Ta có ⇔x=0x2−1=0x2=0x2−12−2mx2−1+1=0⇔x=0x=±1x2−12−2mx2−1+1=0 .

Để hàm số gx=fx2−1  có 7 điểm cực trị thì phương trình x2−12−2mx2−1+1=0  phải có 4 đơn nghiệm phân biệt khác x = 0 , x=±1 .

Xét phương trình x2−12−2mx2−1+1=0

Đặt t=x2−1 , khi đó ta được phương trình t2−2mt+1=0  với t≥−1 .

Với t>−1  ta có hai nghiệm x ,

Với t = -1  ta có nghiệm x = 0 ,

Với t < -1  phương trình vô nghiệm.

Nên để x2−12−2mx2−1+1=0  có 4 đơn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình t2−2mt+1=0  có hai nghiệm phân biệt 0≠t>−1 .

Ta có t2−2mt+1=0⇔2m=t+1t .

Xét hàm số ht=t+1t , ta có h't=1−1t2=0⇔t=±1 .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, phương trình t2−2mt+1=0  có hai nghiệm phân biệt 0≠t>−1   khi m > 2 .