Trong không gian Oxyz cho đường thẳng Δ: x2=y−1−1=z−1−1 . Hai điểm M, N thay đổi, lần lượt nằm trên các mặt phẳng P:  x−2=0 , Q:  z−2=0 sao cho trung điểm K của đoạn thẳng MN luôn thuộc đường thẳng Δ . Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN thuộc khoảng nào dưới đây?

Đáp án đúng là: D

Gọi M2; a; b∈P , K2t; 1−t; 1−t∈Δ .

Vì K là trung điểm của MN nên

xN=2.2t−2=4t−2yN=2.1−t−a=2−2t−azN=2.1−t−b=2−2t−b⇒N4t−2; 2−2t−a; 2−2t−b

Mà N∈Q  nên −2t−b=0⇔2t=−b⇒M2; a; b, N−2b−2; 2+b−a; 2 .

Ta có

 MN2=4+2b2+2a−b−22+b−22=4a2−4ab−8a+6b2+16b+24

=2a−b−22+5b+652+645≥645⇒MN≥85≈3,5777...

Dấu bằng xảy ra khi 2a−b−2=0b+65=0⇔a=25b=−65 .