Cho hàm số fx=x3+ax2+bx+c . Nếu phương trình fx=0 có ba nghiệm phân biệt thì phương trình 2fx.f''x=f'x2 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

Đáp án D

Xét phương trình 2fx.f''x=f'x2⇔2fx.f''x−f'x2=0.

Xét hàm số gx=2fx.f''x−f'x2với mọi x∈ℝ

Ta có: g'x=2f'x.f''x−2fxf'''x−2f'xf''x=−2fx.f'''x

Mặt khác:

+ Có f'''x=−6

+ Gọi x1

Khi đó g'x=0⇔−2fx.f'''x=0⇔fx=0⇔x=x1x=x2x=x3

Bảng biến thiên:

Ta nhận xét rằng theo giả thiết phương trình fx=0 có ba nghiệm phân biệt nên ta có fx=x−x1x−x2x−x3  thì f'x=x−x2x−x3+x−x1x−x3+x−x1x−x2.

Suy ra −f'x22=−x2−x1x2−x32<0  nên từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số y=gx  cắt trục hoành tối đa tại hai điểm phân biệt nên phương trình gx=0  có tối đa hai nghiệm.