Cho phương trình \[f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 6x + 1.\] Số nghiệm thực của phương trình \[\sqrt {f\left( {f\left( x \right) + 1} \right) + 1} = f\left( x \right) + 2\] là

Chọn đáp án A

Đặt \(t = f\left( x \right) + 1 \Rightarrow t = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 2\).

Ta có \(\sqrt {f\left( t \right) + 1} = t + 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge - 1\\f\left( t \right) + 1 = {\left( {t + 1} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge - 1\\\left( {{t^3} - 3{t^2} - 6t + 1} \right) + 1 = {t^2} + 2t + 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge - 1\\{t^3} - 4{t^2} - 8t + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = {t_1} \approx 5,44\\t = {t_2} \approx 0,12\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = {t_1} - 1 \approx 4,44\\f\left( x \right) = {t_2} - 1 \approx - 0,88\end{array} \right.\)

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} - 6 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt 3 \).

Xét bảng sau:

Tính \(f\left( {1 - \sqrt 3 } \right) = 6\sqrt 3 - 6 \approx 4,39;{\rm{ f}}\left( {1 + \sqrt 3 } \right) = - 6 - \sqrt 6 \approx - 16,39\).

Từ đó \(f\left( x \right) = {t_1} - 1\) có đúng 1 nghiệm và \(f\left( x \right) = {t_2} - 1\) có đúng 3 nghiệm phân biệt (khác nghiệm nói trên).