Cho phương trình \[{6^x} + m = {\log _6}\left( {x - m} \right)\] (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng \[\left( { - 6;12} \right)\] của m để phương trình đã cho có nghiệm?

Chọn đáp án C

Điều kiện: \(x >m\) (*). Đặt \({\log _6}\left( {x - m} \right) = y \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - m = {6^y}\\{6^x} + m = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{6^y} + m = x\\{6^x} + m = y\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {6^x} + m + x = {6^y} + m + y \Leftrightarrow {6^x} + x = {6^y} + y \Leftrightarrow x = y \Rightarrow m = x - {6^x}.\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x - {6^x},x \in \mathbb{R}\) có \(f'\left( x \right) = 1 - {6^x}\ln 6 = 0 \Rightarrow {6^x} = \frac{1}{{\ln 6}} \Rightarrow x = {\log _6}\frac{1}{{\ln 6}}.\)

Xét bảng sau, trong đó \({x_0} = {\log _6}\frac{1}{{\ln 6}}\).

Từ bảng trên, ta được \(m \le f\left( \right)\) thỏa mãn hay \(m \le f\left( {{{\log }_6}\frac{1}{{\ln 6}}} \right){\rm{ }}\left( { \approx - 0,325} \right)\).

Kết hợp với \(m \in \left( { - 6;12} \right),{\rm{ }}m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3;...; - 1} \right\}.\)