Có tất cả bao nhiêu số nguyên m∈−2020;2020 để phương trình log23x2+3x+m+12x2−x+1=x2−5x+2−m có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn ?

Đáp án C

Điều kiện: log23x2+3x+m+12x2−x+1=x2−5x+2−m.

Ta có: ⇔log23x2+3x+m+12x2−x+1−1=x2−5x+1−m

⇔log23x2+3x+m+14x2−2x+2=x2−5x+1−m

⇔log23x2+3x+m+1+3x2+3x+m+1=log24x2−2x+2+4x2−2x+2.   1

Xét hàm số: ft=t+log2t trên D=0;+∞, có f't=1+1t.ln2>0, ∀t∈D.

Do đó hàm số f(t) đồng biến trên D.

Phương trình 1⇔f4x2−2x+2=f3x2+3x+m+1

⇔4x2−2x+2=3x2+3x+m+1⇔x2−5x−m+1=0   2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔Δ=25−41−m>0⇔m>−214.

Theo định lý Vi-ét ta có x1+x2=5x1x2=1−m.

Từ x13+x23≥155⇔x1+x23−3x1x2x1+x2≥155⇒125−151−m≥155⇒m≥3.