Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là M và . Số phức z(4+3i) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N và . Biết rằng là một hình chữ nhật. tìm giá trị nhỏ nhất của z+4i−5.

Đáp án C

Giả sử z=a+bi   a,  b∈R được biểu diễn bởi điểm M(a;b).

Khi đó số phức liên hợp của z là z¯=a−bi được biểu diễn bởi điểm M'a;  −b.

Ta có: z4+3i=a+bi4+3i=4a+3ai+4bi−3b=4a−3b+3a+4bi

Do đó số phức z(4+3i) được biểu diễn bởi điểm N4a−3b;  3a+4b

Khi đó điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức z(4+3i) là N'4a−3b;  −3a−4b

Ta có: MM'→=a−a;  −b−bNN'→=4a−3b−4a−3b;  −3a−4b−3a−4bMN→=4a−3b−a;  3a+4b−b⇔MM'→=0;  −2bNN'→=0;  −6a−8bMN→=3a+3b;  3a+3b

Vì MM'N'N là một hình chữ nhật nên ta có: MM'→=NN'→≠0→MM'→.MN→=0⇔−2b=−6a−8ba,  b≠0−2b3a+3b=0⇔a=−b

⇒z=−b+bi⇒z+4i−5=−b−5+b+4i=−b−52+b+42=2b+922+12≥12

Vậy z+4i−5min=12⇔b=−92 hay z=92−92i.