Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:x−11=y−12=z2 và mặt phẳng α:x−2y+2z−5=0. Gọi (P) là mặt phẳng chứa Δ và tạo với α một góc nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng ax+by+cx+d=0a,b,c,d∈ℤ;a,b,c,d<5. Khi đó tích abcd bằng

Đáp án B

α có vectơ pháp tuyến n→=1;−2;2.

Δ:x−11=y−12=z2 là giao tuyến của hai mặt phẳng 2x−y−1=0;y−z−1=0.

(P) là mặt phẳng chứa Δ nên phương trình (P) có dạng

m2x−y−1+ny−z−1=0;m2+n2>0.

⇒2mx+n−my−nz−m−n=0

cosP,α=4m−4n35m2−2mn+2n2.

+ Với n=0: cosP,α=4m35m2=435

+ Với n≠0:cosP,α=4mn−15mn2−2mn+23.

Đặt t=mn,cosP,α=4t−135t2−2t+2=43t2−2t+15t2−2t+2

Xét ft=t2−2t+15t2−2t+2

f't=8t2−6t−25t2−2t+22;f't=0⇔t=1t=−14

(P) là mặt phẳng tạo với α một góc nhỏ nhất nên cosP,α=4359=459

Khi đó t=−14⇒mn=−14.

Chọn m=1;n=−4 ta được phương trình mặt phẳng P:2x−5y+4z+3=0.

Khi đó a=2;b=−5;c=4;d=3⇒abcd=−120.