Xét các số phức z, w thỏa mãn |z| = 2 và |iw – 2 + 5i| = 1. Giá trị nhỏ nhất của |z² – wz – 4 | bằng

Đáp án đúng là: C

Đặt z = a + bi , w = c + di (a, b, c, d ∈ ℝ ).

Þ iw – 2 + 5i = i(c + di) – 2 + 5i

= ci + di² – 2 + 5i

= (c + 5)i – d – 2

Khi đó ta có:

• |z| = a2+b2=2 Þ a² + b² = 4

Þ a, b ∈ [–2; 2]

• |iw – 2 + 5i| = c+52+−d−22=1

Þ (c + 5)² + (d + 2)² = 1

Þ c ∈ [–6; –4] và d ∈ [–3; –1].

Ta có:

T = |z² – wz – 4|

= |z² – wz − |z|²|

= |z² – wz – z . z¯|

= |z| . |z − z¯ − w|

= 2|z − z¯ − w|

Þ T = 2|2bi – (c + di)|

= 2|– c + (2b – d)i|

= 2(2b−d)2+c2 ≥ 2c2 = 2|c| ≥ 2.4 = 8

(do c ∈ [−6; −4] nên |c| ≥ 4)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : c=−42b−d=0(c+5)2+(d+2)2=1  Þ c=−4d=−2b=−1 

Vậy |z² – wz – 4| có giá trị nhỏ nhất bằng 8.