Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(10; 6; −2), B(5; 10; −9) và mặt phẳng (α): 2x + 2y + z – 12 = 0. Điểm M thay đổi thuộc mặt phẳng (α) sao cho hai đường thẳng MA và MB luôn tạo với (α) các góc bằng nhau. Biết rằng điểm M luôn thuộc một đường tròn cố định. Hoành độ của tâm đường tròn đó bằng

Đáp án đúng là: C   

Mặt phẳng (α) có phương trình: 2x + 2y + z – 12 = 0.

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B lên (α).

• Với A(10; 6; −2) ta có:

AH = d_(A;(α)) = 2.10+2.6−2−1222+22+1 = 6

• Với B(5; 10; −9)  ta có:

BK = d_(B;(α)) = 2.5+2.10−9−1222+22+1 = 3

Vì điểm M di động trên mặt phẳng (α) sao cho MA, MB luôn tạo với (α) các góc bằng nhau nên ta có sinAMH^ = sin BMK^

⇒AHAM=BKBM⇒BMAM=BKAH=12

Þ MA = 2MB

Gọi M(x; y; z).

MA = 2MB Û MA² = 4MB²

Û (x – 10)² + (y – 6)² + (z + 2)² = 4[(x – 5)² + (y – 10)² + (z + 9)²]

Û x² – 20x + 100 + y² – 12y + 36 + z² + 4z + 4

= 4x² – 40x + 100 + 4y² – 80y + 400 + 4z² + 72z + 324

Û 3x² + 3y² + 3z² – 20x – 68y + 68z + 684 = 0

Û x² + y² + z² − 203x − 683y + 683z + 228 = 0

Suy ra điểm M thỏa mãn 2x+2y+z−12=0(α)x2+y2+z2−203x−683y+683z+228=0(S) 

Mặt cầu (S) có tâm I103;343;−343.

Gọi (ω) là đường tròn cố định luôn đi qua M.

Do đó M ∈ (ω) là giao tuyến của (α) và (S).

Þ Tâm N của (ω) là hình chiếu của tâm I trên mặt phẳng (α).

Mặt phẳng (α): 2x + 2y + z – 12 = 0 có vectơ pháp tuyến là (2; 2; 1).

Phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với (α) là:

x=103+2ty=343+2tz=−343+t

Vì N là hình chiếu của I lên (α) nên N ∈ d.

Þ N103+2t;343+2t;−343+t

Mà N ∈ (α) nên ta có:

2.103+2t+2343+2t+−343+t−12=0

Þ 20 + 12t + 68 + 12t – 34 + 3t – 36 = 0

Þ 27t = –18

Þ t = −23

Suy ra điểm N(2; 10; −12)

Vậy hoành độ của tâm đường tròn (ω) bằng 2.