Cho tập \(A\) có 20 phần tử. Hỏi tập \(A\) có bao nhiêu tập con khác rỗng mà có số phần tử chẵn?

Đáp án B.

Số tập hợp con khác rỗng của tập hợp \(A\) mà có \(k\) phần tử là \(C_{20}^k\left( {k \in \mathbb{N},0 \le k \le 20} \right).\)

Khi đó tổng số tập hợp con khác rỗng mà có số phần tử chẵn là \(S = C_{20}^2 + C_{20}^4 + ... + C_{20}^{20}.\)

Xét \({\left( {1 + x} \right)^{20}} = C_{20}^0 + C_{20}^1x + C_{20}^2{x^2} + ... + C_{20}^{20}{x^{20}}.\)

Cho \(x = 1,\) ta được \({2^{20}} = C_{20}^0 + C_{20}^1 + C_{20}^2 + ... + C_{20}^{20}\left( 1 \right)\)

Cho \(x = - 1,\) ta được \(0 = C_{20}^0 - C_{20}^1 + C_{20}^2 - ... + C_{20}^{20}\left( 2 \right).\)

Công vế theo vế (1) và (2), ta được

\({2^{20}} = 2\left( {C_{20}^0 + C_{20}^2 + C_{20}^4 + ... + C_{20}^{20}} \right) \Leftrightarrow 2\left( {S + 1} \right) = {2^{20}} \Leftrightarrow S = {2^{19}} - 1.\)