Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số y=x3−3(2m+1)x2+(12m+5)x+2 đồng biến trên khoảng (2;+∞). Số phần tử của S bằng:

Phương pháp giải:

Hàm số y=f(x) đồng biến trên (a; b)⇔f'(x)≥0  ∀x∈(a; b).

Giải chi tiết:

Xét hàm số: y=x3−3(2m+1)x2+(12m+5)+2

⇒y'=3x2−6(2m+1)x+12m+5

⇒y'=0⇔3x2−6(2m+1)x+12m+5=0(*)

TH1: Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ

⇔y'≥0∀x⇔Δ'≤0

⇔9(2m+1)2−3(12m+5)≤0

⇔9(4m2+4m+1)−36m−15≤0

⇔36m2−6≤0⇔m2≤16⇔−66≤m≤66

TH2: Hàm số đã cho đồng biến trên (2;+∞)

⇔(*) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn 2≤x1

⇔{Δ'>0(x1−2)(x1−2)≥0x1+x2>4⇔{36m2−6>0x1x2−2(x1+x2)+4≥0x1+x2>4

⇔{m2>1612m+53−2.6(2m+1)3+4≥06(2m+1)3>4⇔{[m>66m<−6612m+5−24m−2+12≥04m+2>4

⇔{[m>66m<−66−12m≥−15m>12⇔{[m>66m<−66m≤54m>12⇔12

Kết hợp hai trường hợp ta được: [−66≤m≤6612

Lại có: m∈ℤ+⇒m=1.

Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn bài toán.

Đáp án A