Cho hàm số \(y = {x^2} - 2\left( {m + \frac{1}{m}} \right)x + m\) với \(m\) là tham số thực khác 0. Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ { - 1\,;\,\,1} \right]\) lần lượt là \({y_1},{y_2}.\) Số giá trị của \(m\) để \({y_1} - {y_2} = 8\) là

Đặt \(y = f(x) = {x^2} - 2\left( {m + \frac{1}{m}} \right)x + m\).

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số là \(x = m + \frac{1}{m} \ge 2\) (Bất đẳng thức Cô-si).

Vì hệ số \(a = 1 > 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty \,;\,\,m + \frac{1}{m}} \right).\)

\( \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\left[ { - 1\,;\,\,1} \right]\)

\( \Rightarrow {y_1} = f( - 1) = 3m + \frac{2}{m} + 1\) và \({y_2} = f(1) = 1 - m - \frac{2}{m}\)

Theo đề bài ta có: \({y_1} - {y_2} = 8\)\( \Leftrightarrow 3m + \frac{2}{m} + 1 - 1 + m + \frac{2}{m} = 8\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\).

Chọn B.