Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau: Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = 2{f^2}\left( x \right) \cdot \left[ {f\left( x \right) - 3m} \right]\) có 4 điểm cực tiểu?

Ta có \[g\left( x \right) = 2{f^3}\left( x \right) - 6m \cdot {f^2}\left( x \right)\]

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 6f'\left( x \right) \cdot {f^2}\left( x \right) - 12m \cdot f'\left( x \right) \cdot f\left( x \right)\)\( = 6f'\left( x \right) \cdot f\left( x \right) \cdot [f\left( x \right) - 2m] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( x \right) = 0}\\{f\left( x \right) = 0}\\{f\left( x \right) = 2m}\end{array}} \right.\)

Dễ thấy \(f'\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm là \(x = 0\,;\,\,x = 3\)

Và \(f\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm thực phân biệt.

Yêu cầu bài toán \[ \Leftrightarrow g'(x) = 0\] có 8 nghiệm đơn phân biệt

\( \Leftrightarrow (*)\) có ba nghiệm đơn phân biệt \( \Leftrightarrow  - 1 < 2m < 5 \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} < m < \frac{5}{2}.\)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) suy ra \(m \in \left\{ {0\,;\,\,1\,;\,\,2} \right\}.\) Chọn A.