Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\) và hình nón \[\left( H \right)\] có đỉnh \(A\left( {3\,;\,\,2\,;\,\, - 2} \right)\) và nhận \[AI\] làm trục đối xứng với \[I\] là tâm mặt cầu. Một đường sinh của hình nón \[\left( H \right)\] cắt mặt cầu tại \[M,{\rm{ }}N\] sao cho \(AM = 3AN.\) Phương trình mặt cầu đồng tâm với mặt cầu \(\left( S \right)\) và tiếp xúc với các đường sinh của hình ...

Gọi hình chiếu vuông góc của điểm \[I\] lên đoạn thẳng \[MN\] là \[K.\]

Dễ thấy: \(AN = NK = \frac{1}{3}AM\), mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1\,;\,\,2\,;\,\,3} \right)\) và bán kính \(R = 5.\)

Có \(AM \cdot AN = A{I^2} - {R^2} = 4 \Rightarrow A{N^2} = \frac{4}{3}\)

Nhận thấy mặt cầu đồng tâm với mặt cầu \(\left( S \right)\) và tiếp xúc với các đường sinh của hình tròn \(\left( H \right)\) chính là mặt cầu tâm \(I\left( {1\,;\,\,2\,;\,\,3} \right)\) có bán kính \(IK = \frac{{\sqrt {213} }}{3}.\)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{3}.\) Chọn A.