Xét hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn \(4x.f\left( {{x^2}} \right) + 3f\left( {1 - x} \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\). Tính \[I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \].

Đáp án C

Ta có \[\int\limits_0^1 {4x.f\left( {{x^2}} \right)dx} + \int\limits_0^1 {3f\left( {1 - x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} \]

\[\int\limits_0^1 {4x.f\left( {{x^2}} \right)dx} = 2\int\limits_0^1 {f\left( {{x^2}} \right)d\left( {{x^2}} \right) = 2\int\limits_0^1 {f\left( u \right)du} = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} } \].

\[\int\limits_0^1 {3f\left( {1 - x} \right)dx} = 3\int\limits_0^1 {f\left( v \right)f\left( {1 - v} \right)} = 3\int\limits_0^1 {f\left( v \right)dv} = 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \].

Do đó \[5\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}d\left( {{x^2} + 1} \right)} = \left. {\frac{1}{2}.2\sqrt {{x^2} + 1} } \right|_0^1 = \sqrt {2 - 1} \]

\[ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{5}\].