Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\frac{1} = \frac{{ - 1}} = \frac{1}\) và \(d':\frac{1} = \frac{1} = \frac{1}\). Mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + 2 = 0\) chứa d và tạo với \(d'\) một góc lớn nhất. Tính a + b + c.

Đáp án B

Lấy \(A\left( {1; - 2;1} \right) \in d\), qua A kẻ \(d''//d' \Rightarrow d'':\frac{1} = \frac{1} = \frac{1}\).

Lấy \(I\left( {0; - 3;0} \right) \in d''\), kẻ \(IH \bot \left( P \right),{\rm{ }}IK \bot d\) (K cố định và H thay đổi).

Ta có \(\left( {\widehat {d';\left( P \right)}} \right) = \left( {\widehat {d'';\left( P \right)}} \right) = \widehat {IAH}\) mà \(\sin \widehat {IAH} = \frac \le \frac\left( {const} \right)\).

Dấu “=” xảy ra \(H \equiv K{\rm{ hay }}IK \bot \left( P \right)\).

Điểm \(K \in \left( d \right) \Rightarrow K\left( {t + 1; - t - 2;t + 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IK} = \left( {t + 1;1 - t;t + 1} \right)\).

Khi đó

\(IK \bot d \Rightarrow \overrightarrow {IK} .\overrightarrow = 0 \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right) - \left( {1 - t} \right) + \left( {t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{3} \Rightarrow \overrightarrow {IK} = \left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};\frac{2}{3}} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {IK} = \left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};\frac{2}{3}} \right)\) là một VTPT nên nhận \(\overrightarrow n \left( {1;2;1} \right)\) là một VTPT.

Kết hợp \(\left( P \right)\) qua \(A\left( {1; - 2;1} \right) \Rightarrow \left( P \right):\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 2} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + z + 2 = 0\).