Số nghiệm của phương trình \({\cos ^2}x - \sin 2x = \sqrt 2 + {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\) trên khoảng \[\left( {0\,;\,\,3\pi } \right)\] là

Ta có \({\cos ^2}x - \sin 2x = \sqrt 2  + {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\cos ^2}x - \sin 2x = \sqrt 2  + {\sin ^2}x \Leftrightarrow \cos 2x - \sin 2x = \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2  \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{4} = k2\pi  \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{8} + k\pi \,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Mà \(x \in \left( {0\,;\,\,3\pi } \right)\) nên \(x = \frac{{7\pi }}{8}\,;\,\,x = \frac{{15\pi }}{8}\,;\,\,x = \frac{{23\pi }}{8}.\) Chọn D.