Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật, \(AB = a\,,\,\,AD = 2a\,;\,\,SA\) vuông góc với đáy, khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(\frac{a}{2}.\) Thể tích của khối chóp theo \[a\] là

\[SA \bot \left( {ABCD} \right)\]\( \Rightarrow SA \bot CD\)

Vì ABCD là hình chữ nhật nên \(CD \bot AD\).

Từ (1) và (2) suy ra \(CD \bot \left( {SAD} \right).\)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên đường thẳng \(SD\) nên \(CD \bot AH\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AH \bot SD}\\{AH \bot CD}\end{array} \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right)} \right.\)

\( \Rightarrow AH = d\left( {A,\,\,\left( {SCD} \right)} \right)\)\( \Rightarrow AH = \frac{a}{2}.\)

Vì \(\Delta SAD\) vuông tại \(A\) có đường cao \[AH\] nên

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{{4{a^2}}} \Rightarrow SA = \frac{{2a\sqrt {15} }}{\rm{. }}\)

Do đó \(V = \frac{1}{3}AB \cdot AD \cdot SA = \frac{1}{3}a \cdot 2a \cdot \frac{{2a\sqrt {15} }} = \frac{{4\sqrt {15} }}{a^3}.\) Chọn A.