Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A (m; 0; 0), B (0; m-1; 0), C (0; 0; m+4) thỏa mãn BC = AD,CA = BD và AB = CD. Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoai tiếp tứ diện ABCD bằng

Đặt BC=a ; CA=b ; AB=c  .

Gọi M , N  lần lượt là trrung điểm của AB và CD .

Theo giả thiết ta có tam giác ΔABC=ΔCDA  c.c.c  

⇒CM=DM hay tam giác CMD  cân tại M ⇒MN⊥CD   

Chứng minh tương tự ta cũng có MN⊥AB .

Gọi I  là trung điểm của MN  thì IA=IB  và IC=ID .

Mặt khác ta lại có AB=CD  nên  ΔBMI=ΔCNI ⇒IB=IC hay I  là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .

Ta có IA2=IM2+AM2=MN24+AB24=MN2+c24 .

Mặt khác CM  là đường trung tuyến của tam giác ABC  nên CM2=2a2+2b2−c24

⇒MN2=CI2−CN2=2a2+2b2−c24−c24=a2+b2−c22

Vậy IA2=a2+b2+c28 .

Với a2+b2+c2=2m2+2m−12+2m+42=6m+12+28

Vậy =6m+12+28⇒IAmin=72=142 .

Chọn đáp án B