Cho hình thang \[ABCD\] có \[AB\] song song \[CD\] và \(AB = AD = BC = a\,,\,\,CD = 2a.\) Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình thang \[ABCD\] quanh trục \[AB\] bằng

Cách 1: Dễ thấy \[ABCE\] là hình bình hành nên \(AE = BC = a.\)

Do đó \[ADE\] là tam giác đều có \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Xét hệ trục tọa độ \[Oxy\] (như hình vẽ) có

Phương trình \(CD:y =  - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\)

\[{x_D} = 0\,;\,\,{x_C} = 2a\,;\,\,A\left( {\frac{a}{2}\,;\,\,0} \right).\]

Phương trình \(AD:y = \sqrt 3 x - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Do đó \[V = \pi \int\limits_0^{2a} {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  - 2\pi \int\limits_0^{\frac{a}{2}} {{{\left( {\sqrt 3 x - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{3\pi {a^2}}}{4} \cdot 2a - 2\pi \int\limits_0^{\frac{a}{2}} {\left( {3{x^2} - 3ax - \frac{{3{a^2}}}{4}} \right)} \]

\( = \frac{{3\pi {a^3}}}{2} - \left. {2\pi \left( {{x^3} - \frac{2}{x^2} + \frac{{3{a^2}}}{4}x} \right)} \right|_0^{\frac{a}{2}} = \frac{{3\pi {a^3}}}{2} - 2\pi  \cdot \frac{{{a^3}}}{8} = \frac{5}{4}\pi {a^3}\).

Cách 2: Thể tích khối tròn xoay được tạo ra theo đề bài là thể tích cho khối trụ có chiều cao \[2a\] bán kính đáy bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) trừ đi thể tích hai khối nón có cùng chiều cao bằng \(\frac{a}{2}\) và bán kính đáy bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Do đó \(V = \pi {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}2a - 2 \cdot \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{5}{4}\pi {a^3}\). Chọn A.