Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho hình thang \[ABCD\] có hai đáy \[AB,\,\,CD;\] có tọa độ ba đỉnh \(A\left( {1\,;\,\,2\,;\,\,1} \right),\,\,B\left( {2\,;\,\,0\,;\,\, - 1} \right),\,\,C\left( {6\,;\,\,1\,;\,\,0} \right).\) Biết hình thang có diện tích bằng \(6\sqrt 2 .\) Giả sử đỉnh \(D\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\). Mệnh đề đúng là

Cách 1: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\, - 2} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {5\,;\,\, - 1\,;\,\, - 1} \right),\)

\(\overrightarrow {DC}  = \left( {6 - a\,;\,\,1 - b\,;\,\, - c} \right){\rm{. }}\)

Ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{{9\sqrt 2 }}{2}\)

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) cùng phương, cùng chiều. Khi đó, ta có

\(\frac{1} = \frac{{ - 2}} = \frac{c}{2} > 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 12 - 2a}\\{b = 13 - 2a}\\{a < 6}\\{b > 1}\\{c > 0}\end{array}} \right. & \left( * \right)\)

Lại có \(\left[ {\overrightarrow {AC} \,,\,\,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {0\,;\,\,9a - 54\,;\,\,54 - 9a} \right)\).

Ta có \({S_{ACD}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} \,,\,\,\overrightarrow {AD} } \right]} \right| = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left| {54 - 9a} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{3}}\\{a = \frac{3}}\end{array}} \right.\).

So với điều kiện \((*)\) suy ra \(a = \frac{3} \Rightarrow b = \frac{5}{3},\,\,c = \frac{2}{3} \Rightarrow a + b + c = 8\). Chọn C.

Cách 2: Ta có \[AB = 3\,;\,\,h = d\left( {C\,,\,\,AB} \right) = \frac{{\sqrt {162} }}{3}\].

\({S_{ABCD}} = \frac{h}{2}\left( {AB + CD} \right) \Leftrightarrow 6\sqrt 2  = \frac{{\sqrt {162} }}{6}\left( {3 + CD} \right) \Leftrightarrow CD = 1.{\rm{ }}\)

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  = 3\overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow D\left( {\frac{3};\,\,\frac{5}{3};\,\,\frac{2}{3}} \right) \Rightarrow a + b + c = 8\). Chọn C.