Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1\) và \(f\left( {2x} \right) - xf\left( {{x^2}} \right) = 5x - 2{x^3} - 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Tích phân \(I = \int\limits_1^2 {xf'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x\) bằng

Ta có \(I = \int\limits_1^2 {xf'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \left. {xf\left( x \right)} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x\).

Với \(f\left( {2x} \right) - xf\left( {{x^2}} \right) = 5x - 2{x^3} - 1\).

Thay \(x = 1\,;\,\,f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = 5 - 2 - 1 = 2 \Leftrightarrow f(2) = 3.\)

Khi đó \(\int f \left( {2x} \right)dx - \int x f\left( {{x^2}} \right)dx = \int {\left( {5x - 2{x^3} - 1} \right)\,} dx\)

\( \Leftrightarrow \int 2 f\left( {2x} \right)dx - \int 2 xf\left( {{x^2}} \right)dx = \int {\left( {10x - 4{x^3} - 2} \right)} \,dx\)

\( \Leftrightarrow F\left( {2x} \right) - F\left( {{x^2}} \right) = 5{x^2} - {x^4} - 2x + c\).

• Với \(x = 0 \Rightarrow F\left( 0 \right) - F\left( 0 \right) = c \Leftrightarrow c = 0\).

• Với \(x = 1 \Rightarrow F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right) = 5 - 1 - 2 = 2\).

Vậy \(I = 2f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) - \left[ {F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right)} \right] = 2 \cdot 3 - 1 - 2 = 3\). Chọn A.