Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của \(a\) thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,\,20} \right)\) sao cho \(\lim \sqrt {3 + \frac{{a{n^2} - 1}}} - \frac{1}{{{2^n}}}} \) là một số nguyên. Tổng các phần tử của \[S\] là

Ta có \(\lim \sqrt {3 + \frac{{a{n^2} - 1}}} - \frac{1}{{{2^n}}}}  = \lim \sqrt {3 + \frac}}}{{\frac{3}{{{n^2}}} + 1}} - \frac{1}{{{2^n}}}}  = \sqrt {3 + a} \).

Để \(\sqrt {3 + a} \) là số nguyên thì \(a + 3\) là số chính phương thuộc khoảng \(\left( {3\,;\,\,23} \right)\)

Do đó \[a + 3 \in \left\{ {4\,;\,\,9\,;\,\,16} \right\} \Rightarrow a \in \left\{ {1\,;\,\,6\,;\,\,13} \right\}\].

Vậy có 3 giá trị nguyên \(a\) cần tìm. Chọn B.