Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}.\] Biết \[f\left( 2 \right) = 3\] và \[\int\limits_{ - 1}^3 {f\left( {\sqrt {x + 1} } \right)dx} = 4,\] khi đó \[\int\limits_0^2 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \] bằng

Đáp án A

Đặt \(t = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow 2t{\rm{d}}t = d{\rm{x}}\)

Đổi cận ta được \(\int\limits_1^3 {f\left( {\sqrt {x + 1} } \right)d{\rm{x}}} = \int\limits_0^2 {f\left( t \right).2t{\rm{d}}t} = 2\int\limits_0^2 {t.f\left( t \right)dt} = 4 \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {x.f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2\).

Mặt khác \(I = {x^2}f'\left( x \right)d{\rm{x}}\) ta đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = f'\left( x \right)d{\rm{x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2{\rm{xdx}}\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\).

Suy ra \(I = \left. {{x^2}f\left( x \right)} \right|_0^2 - 2\int\limits_0^2 {x.f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 4.f\left( 2 \right) - 2.2 = 8\).