Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \[4{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} - {\log _{\frac{1}{2}}}x + m = 0\] có nghiệm thuộc khoảng \[\left( {0;1} \right)\]

Đáp án D

Xét trên \(\left( {0;1} \right)\). Ta có: \(4{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} - {\log _{\frac{1}{2}}}x + m = 0 \Leftrightarrow \log _2^2x + {\log _2}x + m = 0\).

Đặt \(t = {\log _2}x \Rightarrow t \in \left( { - \infty ;0} \right)\). Ta được phương trình: \({t^2} + t + m = 0 \Leftrightarrow m = - {t^2} - t\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = - {t^2} - t,{\rm{ t}} \in \left( { - \infty ;0} \right)\).

Ta có: \(f'\left( t \right) = - 2t - t;{\rm{ }}f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2}\). Bảng biến thiên:

Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;1} \right)\) thì \(m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{4}} \right]\).