Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm hình vuông A'B'C'D' và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO=2MI. Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC'D') và (MAB) bằng:

Phương pháp giải:

- Sử dụng định lí: Góc giữa hai mặt phẳng là giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng, sử dụng định lí Pytago và định lí Côsin trong tam giác để tính góc.

Giải chi tiết:

Gọi E,F lần lượt là trung điểm của C'D',AB.

Xét ΔMIC' và ΔMID' có MI chung, Ic'=Id' nên ΔMIC'=ΔMID'(2 cạnh góc vuông)

⇒MC'=MD'⇒ΔMC'D'cân tại E ⇒ME⊥C'D'.

Chứng minh tương tự ta có MF⊥AB.

Xét (MC'D') và (MAB) có M chung, {C'D'⊂(MC'D')AB⊂(MAB)C'D'//AB

⇒(MC'D')∩(MAB)=Mx//C'D'//AB.

Lại có {ME⊥C'D'MF⊥AB(cmt)⇒{ME⊥MxMF⊥Mx.

Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {MC'D'} \right) \cap \left( {MAB} \right) = Mx}\\{ME \subset \left( {MC'D'} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ME \bot Mx}\\{MF \subset \left( {MAB} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} MF \bot Mx}\end{array}} \right.\]

⇒∠((MC'D');(MAB))=∠(ME;MF).

Giả sử ABCD.A'B'C'D' là khối lập phương có cạnh bằng 1.

Ta có MO=2MI⇒MI=13OI=16.

Áp dụng định lí Pytago ta có: MC'=MI2+IC'2=(16)2+(22)2=196

ME=MC'2−EC'2=(196)2−(12)2=106

Tương tự ta có MB=MJ2+JB2=(56)2+(22)2=436

MF=MB2−BF2=346

Dễ thấy BC'EF là hình bình hành nên EF=BC'=2.

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác MEF ta có:

cos∠EMF=ME2+MF2−EF22ME.MF=(106)2+(346)2−(2)22.106.346=−78585

Mà góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn, có giá trị côsin là số dương.

Vậy cos∠((MC'D');(MAB))=78585.

Đáp án C.