Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có BAC^=1200, BC=AA'=a. Gọi M là trung điểm của CC'. Tính khoảng cách giứa hai đường thẳng BM và AB', biết rằng chúng vuông góc với nhau.

Chọn C.

Gọi \(I\) là hình chiếu của A trên BC, ta có:

{AI⊥BCAI⊥BB'⇒AI⊥(BCC'B')⇒AI⊥BM (1).

Mặt khác, theo giả thiết: A'B⊥BM(2).

Từ (1) và (2) suy ra BM⊥(AB'I)⇒BM⊥B'I.

Gọi E=B'I∩BM, ta có: IBE^=BB'I^(vì cùng phụ với góc BIB'^).

Khi đó ΔB'BI=ΔBCM(g.c.g)⇒BI=CM=a2⇒Ilà trung điểm cạnh BC⇒ΔABC cân tại A.

Gọi F là hình chiếu của E trên \(AB',\) ta có EF là đoạn vuông góc chung của AB'và BM

Suy ra d(BM,AB')=EF.

Ta có: AI=BI.cot600=a2.33=a36;B'I=BB'2+BI2=a2+(a2)2=a52=BM.

IE=BI.sinEBI^=BI.CMBM=a2.a2a52=a510⇒B'E=B'I−IE=2a55.

AB'=AI2+B'I'2=(a36)2+(a52)2=2a33.

Mặt khác: ΔB'IA đồng dạng ΔB'FE nên \(\frac{{B'A}}{{B'E}} = \frac \Leftrightarrow EF = \frac{{IAB'E}}{{B'A}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}}}{{\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}}} = \frac{{a\sqrt 5 }}.\)

Vậy d(BM,AB')=a510.