Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích là V. Gọi M,N,P là trung điểm các cạnh AA', AB, B'C'. Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính thể tích phần chứa đỉnh B theo V.

Chọn B.

Ta dựng được thiết diện là ngũ giác MNQPR.

Đặt \(d\left( {B;\left( {A'B'C'} \right)} \right) = h,A'B' = a,d\left( {C;A'B'} \right) = 2b.\)

Khi đó ta có thể tích lăng trụ V=12.d(C';A'B').A'B'.d[B;(A'B'C')]=12.2b.a.h=abh.

Xét hình chóp L.JPB' có:

LNLJ=LBLB'=NBJB'=13suy ra d[L;(A'B'C')]=32d[B;(A'B'C')]=32h,JB'=32A'B'=32a,d(P;A'B')=12d(C';A'B')=b.

Suy ra thể tích khối chóp L.JPB' là VLJPB'=13.32h.12.32a.b=38abh=38V.

Mặt khác ta có: \(\frac{{{V_{L.NBQ}}}}{{{V_{L.JPB'}}}} = \frac.\frac{{LB'}}.\frac = \frac{1}{3}.\frac{1}{3}.\frac{1}{3} = \frac{1} \Rightarrow {V_{LNBQ}} = \frac{1}{V_{LJPB'}} = \frac{1}.\frac{3}{8}V = \frac{1}V\)

VJ.RA'MVLJPB'=JMJL.JA'JB'.JRJP=13.13.12=118⇒VL.NBQ=118VL.JPB'=118.38V=148V.

Suy ra thể tích khối đa diện VNQBB'PRA'=VLJPB'−VL.NBQ−VJ.A'RM=38V−172V−148V=49144V.