Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=xx+1 mà tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân?

Chọn A.

Ta có y=f'(x)=1(x+1)2.

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\left( {{x_0} \ne - 1} \right)\) có dạng y=f'(x0)(x−x0)+y0.

Do tiếp tuyến cắt Ox,Oy lần lượt tại hai điểm \(A,B\) và tam giác OAB cân nên tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=x hoặc y=-x

Suy ra [1(x0+1)2=11(x0+1)2=−1(vn)⇔[x0=0x0=−2.

Với x=1 phương trình tiếp tuyến là \(y = x\) loại vì A trùng O

Với x=-2 phương trình tiếp tuyến là y=x+2

Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn ycbt.