Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:x−12=y1=z+2−1 và d2:x−11=y+23=z−2−2 . Gọi D là đường thẳng song song với (P): x + y + z - 7 = 0 và cắt d₁, d₂ lần lượt tại A, B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình đường thẳng D là

Đáp án đúng là: B

Ta có:

A = D Ç d₁ Þ A(1 + 2a; a; -2 - a)

B = D Ç d₂ Þ B(1 + b; -2 + 3b; 2 - 2b)

+) AB→=b−2a; −2+3b−a; 4−2b+a

+) nP→=1; 1; 1

D là đường thẳng song song với (P) và A, B thuộc D nên AB→⊥nP→

⇒AB→.nP→=0

Þ b - 2a - 2 + 3b - a+ 4 - 2b + a = 0

Û 2a - 2b - 2 = 0 Û b = a - 1

Từ đó suy ra AB→=−a−1; 2a−5; −a+6 .

Khi đó AB=a+12+2a−52+a−62

=6a2−30a+62=6a2−5a+254+492

=6a−522+492 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 722 . 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=52⇒b=32

⇒AB→=−72; 0; 72=72−1; 0; 1 và A6; 52; −92 .

Phương trình đường thẳng D đi qua A6; 52; −92  và có véc-tơ chỉ phương (-1; 0; 1) là

Δ:x=6−t  y=52      z=−92+t