Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] gọi \(I\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\) là tâm mặt cầu đi qua điểm \(A\left( {1\,;\,\, - 1\,;\,\,4} \right)\) và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ. Tính \(P = a - b + c.\)

Vì mặt cầu tâm \(I\) tiếp xúc với các mặt phẳng toạ độ nên ta có

\(d\left( {I,\,\,\left( {{\rm{Oyz}}} \right)} \right) = d\left( {I,\,\,\left( {{\rm{Ozx}}} \right)} \right) = d\left( {I,\,\,\left( {{\rm{Oxy}}} \right)} \right) \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b = c}\\{a = b =  - c}\\{a =  - b = c}\\{a =  - b =  - c}\end{array}} \right..\)

Nhận thấy chỉ có trường hợp \(a =  - b = c\) thì phương trình \(AI = d\left( {I,\,\,\left( {{\rm{Oxy}}} \right)} \right)\) có nghiệm, các trường hợp còn lại vô nghiệm.

Thật vậy: với \(a =  - b = c\) thì \[I\left( {a\,;\,\, - a\,;\,\,a} \right)\].

Ta có \(AI = d\left( {I,\,\,\left( {{\rm{Oxy}}} \right)} \right) \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {a - 4} \right)^2} = {a^2} \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 9 = 0 \Leftrightarrow a = 3.\)

Khi đó \(P = a - b + c = 9.\) Do đó \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + 4{x^2} + bx + 1\). Chọn D.