Một trang trại cần xây dựng một bể chứa nước hình hộp chữ nhật bằng gạch không nắp ở phía trên. Biết bể có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng và thể tích (phần chứa nước) băng \(8\,\;{{\rm{m}}^3}.\) Hỏi chiều cao của bế gần nhất với kết quả nào dưới đây để số lượng gạch dùng đế xây bể là nhỏ nhất?

Gọi \[x\,,\,\,2x\,,\,\,h\,\,(m)\] lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của bể.

Khi đó thể tích bể là \(x \cdot 2x \cdot h = 8 \Rightarrow h = \frac{4}{{{x^2}}}.\)

Diện tích cần xây dựng cho bể không nắp là:

\(S = 2x \cdot x + 2 \cdot 2x \cdot h = 2{x^2} + 6xh = 2{x^2} + 6x \cdot \frac{4}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{x}.\)

Để số lượng gạch dùng để xây bể là nhỏ nhất thì diện tích cần xây dựng là nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM nên

\(2{x^2} + \frac{x} = 2{x^2} + \frac{x} + \frac{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{x} \cdot \frac{x}}} = 2\sqrt[3]\)

Dấu  xảy ra khi \(2{x^2} = \frac{x} \Leftrightarrow {x^3} = 6 \Rightarrow x = \sqrt[3]{6}.\)

Khi đó \(h = \frac{4}{{{x^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {\sqrt[3]{6}} \right)}^2}}} \approx 1,21.\) Chọn D.