Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \) và biểu thức \(P = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2}\) đạt giá trị lớn nhất. Tính \(\left| {z + i} \right|\)?

Giả sử \(z = x + yi\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right).\)

Ta có \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5  \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\)

\[P = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2} = \left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}} \right] - \left[ {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \right] = 4x + 2y + 3\]

\( = 4\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 4} \right) + 23 \le \sqrt {\left( {{4^2} + {2^2}} \right)\left[ {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 4} \right)}^2}} \right]}  + 23 = 33.{\rm{ }}\)

Khi đó \(P = 33 \Leftrightarrow \frac{4} = \frac{2} \Leftrightarrow x - 3 = 2\left( {y - 4} \right)\).

Tử (1) và (2) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y = 5}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 3}\end{array}} \right.\).

Với \[x = 5\,;\,\,y = 5\] thì \[P = 33\];                                    Với \[x = 1\,;\,\,y = 3\] thì \[P = 13\].

Do đó, số phức \(z\) thoả mãn \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \) và biểu thức \[P = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2}\] đạt giá trị lớn nhất là \(z = 5 + 5i.\)

Khi đó \(\left| {z + i} \right| = \sqrt {61} .\) Chọn C.