Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông cân tại \(A,\,\,AB = 2a,\,\,SA\) vuông góc với mặt đáy và góc giữa \[SB\] và mặt đáy bằng \(60^\circ .\) Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right).\) Giá trị \(\cos \alpha \) bằng

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC \Rightarrow AM \bot BC\) (1)

Có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot SA}\\{BC \bot AM}\end{array} \Rightarrow BC \bot SM} \right.\)

Từ (1) và \((2)\) suy ra \(\left( {\widehat {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SMA} = \alpha .\)

Do \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB\) và \[AB\] là hình chiếu vuông góc của \[SB\] lên \(\left( {ABC} \right) \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ .\)

• Xét \(\Delta SAB\) có \(SA = AB \cdot \tan \widehat {SBA} = 2a \cdot \tan 60^\circ  = 2\sqrt 3 a.\)

• Xét \(\Delta ABC\) có \(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = a\sqrt 2 .\)

• Xét \(\Delta SAM\) vuông tại \(A\) có:

\(\cos \alpha  = \frac = \frac{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 a} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 7 }}.\) Chọn C.