Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn fx+fπ2−x=sinx.cosx, với mọi x Î ℝ và f (0) = 0. Tính ∫0π2x.f'xdx.

Đáp án đúng là: D

+) Thay x = 0 vào phương trình fx+fπ2−x=sinx.cosx  ta có

f0+fπ2=0⇒fπ2=0

fx+fπ2−x=sinx.cosx

⇒∫0π2fx+fπ2−xdx=∫0π2sinx.cosxdx

⇔∫0π2fxdx+∫0π2fπ2−xdx=12∫0π22.sinx.cosxdx

⇔∫0π2fxdx+∫0π2fπ2−xdx=12∫0π2sin2xdx

Đặt: u=π2−x⇒du=−dx

Đổi cận

+) x=0⇒u=π2

+) x=π2⇒u=0

Phương trình (1) trở thành

⇔∫0π2fxdx−∫π20fudu=12∫0π2sin2xdx

⇔∫0π2fxdx+∫0π2fudu=−14∫0π2−2sin2xdx

⇔2∫0π2fxdx=−14cos2x0π2

⇔∫0π2fxdx=−18cos2x0π2=18+18=14

Ta có:

∫0π2x.f'xdx

Đặt u=x⇒du=dx             dv=f'xdx⇒v=fx

Vậy suy ra

∫0π2x.f'xdx=x.fx0π2−∫0π2fxdx

=π2.fπ2−14=−14.