Cho số phức z thõa mãn |z - 1 + i| = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |z + 2 - i|² + |z - 2 - 3i|².

Đáp án đúng là: A

Đặt z = a + bi với M(a; b) là điểm biểu diễn của z

+) |z - 1 + i| = 2

⇔a−12+b+12=2

Þ MI = 2 với I(1; -1)

Tương tự ta xét P = |z + 2 - i|² + |z - 2 - 3i|²

= MA² + MB² với A(-2; 1) và B(2; 3)

Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của P với M là điểm thỏa mãn MI = 2

Nên suy ra M thuộc đường tròn tâm I bán kính R = 2

Û (a - 1)² + (b + 1)² = 4

Û a² - 2a + b² + 2b - 2 = 0

Vậy

 = (a + 2)² + (b - 1)² + (a - 2)² + (b - 3)²

= 2a² + 2b² - 8b + 18

= 2a² + (2b² - 8b + 8) + 10

= 2a² + 2(b - 2)² + 10

= 2MH² + 10

Vậy M là điểm thuộc đường tròn tâm I bán kính bằng 2 sao cho 2MH² + 10 đạt GTLN hay MH lớn nhất với H(0; 2)

Từ đó M là giao của đường tròn và đường thẳng HI và M xa AB nhất

⇒MH=MI+IH=2+10

Vậy suy ra Pmax=2MH2+10

=2.2+102+10=38+810.