Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có đồ thị f'(x) như hình vẽ bên. Bất phương trình log5fx+m+2+fx>4−m đúng với mọi x∈−1;4 khi và chỉ khi:

Ta có

     log5fx+m+2+fx>4−m

⇔log9fx+m+2+fx+m+2>6

Đặt t=fx+m+2, bất phương trình trở thành log5t+t>6t>0.

Xét hàm số gt=log5t+tt>0 ta có g't=1tln5+1>0 ∀t>0, do đó hàm số đồng biến trên 0;+∞.

Lại có g5=log55+5=6 nên ta có gt>g5⇔t>5.

Khi đó ta có fx+m+2>5⇔fx>3−m có nghiệm với mọi x∈−1;4⇔3−m≤min−1;4fx.

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) ta có BBT như sau:

Ta cần so sánh f(-1) và f(4)

Ta có:

∫−11f'xdx<−∫14f'xdx

⇒f1−f−1<−f4+f1

⇔f−1>f4

Do đó min−1;4fx=f4.

Vậy 3−m≤f4⇔m≥3−f4.

Chọn B.