Trong không gian với hệ tọa độ \({\rm{Oxyz,}}\) cho các điểm \({\rm{A}}\left( {0\,;\,\,0\,;\,\, - 2} \right)\), \({\rm{B}}\left( {4\,;\,\,0\,;\,\,0} \right).\) Mặt cầu \[\left( {\rm{S}} \right)\] có bán kính nhỏ nhất, đi qua \({\rm{O}},\,\,{\rm{A}},\,\,{\rm{B}}\) có tâm là

Gọi \[J\] là trung điểm \[AB\] nên \[J\left( {2\,;\,\,0\,;\,\, - 1} \right)\].

Tam giác \[ABO\] vuông tại \(O\) nên \(J\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \({\rm{OAB}}\).

Gọi \[I\] là tâm mặt cầu \(\left( {\rm{S}} \right),\,\,\left( {\rm{S}} \right)\) qua các điểm \({\rm{O}},\,\,{\rm{A}},\,\,{\rm{B}}\).

Ta có đường thẳng \[IJ\] qua \({\rm{J}}\) và có một VTCP là \(\vec j = \left( {0\,;\,\,1\,;\,\,0} \right)\) nên có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = b}\\{z =  - 1}\end{array}} \right..\)

\({\rm{I}} \in \left( {{\rm{IJ}}} \right) \Rightarrow {\rm{I}}\left( {2\,;\,\,{\rm{b}}\,;\,\, - 1} \right),\,\,{\rm{IA}} = \sqrt {{{\rm{b}}^2} + 5}  \Rightarrow {\rm{IA}} \ge \sqrt 5 .\)

Dấu  xảy ra \( \Leftrightarrow {\rm{b}} = 0.\) Vậy \({\rm{I}}\left( {2\,;\,\,0\,;\,\, - 1} \right)\). Chọn C.