Xét các số phức z thỏa mãn z−i=z+3i. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z+2−i+z−3−3i bằng

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tập hợp biểu diễn số phức thỏa mãn |z−i|=|z+3i| và biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ.

Bước 2: Biểu diễn số phức z1=i−2;z2=3+3i  trên mặt phẳng tọa độ và tìm giá trị nhỏ nhất của z−z1+z−z2 

z−z0 là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm biểu diễn của z và z₀

Giải chi tiết:

Bước 1: Tìm tập hợp biểu diễn số phức thỏa mãn z−i=z+3i và biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ.

Gọi A(0;1) là điểm biểu diễn số phức i

B(0;−3) là điểm biểu diễn số phức −3i

M(a;b) là điểm biểu diễn số phức z=a+bi 

Khi đó z−i=z+3i tương đương với điểm M là điểm thỏa mãn: MA=MB

Khi đó tập hợp điểm M là đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

Gọi H là trung điểm của AB ⇒H0;−1 

Ta có đường thẳng d:y=−1.

Bước 2: Biểu diễn số phức z1=−2+i;z2=3+3i trên mặt phẳng tọa độ và tìm giá trị nhỏ nhất của z−z1+z−z2 

Gọi C, D lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1=−2+i;z2=3+3i 

Khi đó bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của MC+MD.

Lấy điểm D’ đối xứng D qua d.

 ⇒MC+MD=MC+MD'≤CD'

Đường thẳng DD’ qua D và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là: x=3

⇒ Giao điểm của DD’ và d là K(3;-1)

K là trung điểm của DD’ nên D’(3;-5)

CD'=52+62=61

Vậy giá trị nhỏ nhất của z+2−i+z−3−3i là 61 

Chọn A