Trong không gian tọa độ Oxyz cho \[d:\frac{{ - 3}} = \frac{2} = \frac{{ - 2}}\] và mặt phẳng \[\left( P \right):x - 3y + z - 4 = 0\]. Phương trình hình chiếu của d trên (P) là:

Đường thẳng d đi qua A(1;3;1) và có VTCP\[\overrightarrow = \left( { - 3;2; - 2} \right)\]

Mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P) nên \[\overrightarrow = \left[ {\overrightarrow ,\overrightarrow } \right]\]

Ta có:\[\overrightarrow = \left( {1; - 3;1} \right)\]  và\[\overrightarrow = \left( { - 3;2; - 2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow ,\overrightarrow } \right] = \left( {4; - 1; - 7} \right)\]

Mặt phẳng (Q) đi qua A(1;3;1) và nhận\[\overrightarrow = \left( {4; - 1; - 7} \right)\]làm VTPT nên

\[\left( Q \right):4\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 3} \right) - 7\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - y - 7z + 6 = 0\]

Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của (P),(Q).

Dễ thấy điểm (0;−1;1) thuộc cả hai mặt phẳng và\[\left[ {\overrightarrow ,\overrightarrow } \right] = \left( {2;1;1} \right)\]

Do đó d′ đi qua A(0;−1;1) và có VTCP\[\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {2;1;1} \right)\]

Đáp án cần chọn là: D