Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho \(A\left( {0;1;0} \right)\), \(B\left( {2;2;2} \right)\), \(C\left( { - 2;3;1} \right)\) và đường thẳng \(d:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{2} = \frac{{ - 1}} = \frac{2}\). Tìm điểm \(M \in d\) sao cho thể tích tứ diện \(MABC\) bằng 3.

Đáp án A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AM} } \right|\)

Giải chi tiết:

Giả sử \(M\left( {a;b;c} \right) \in d\) ta có:

\(\frac{2} = \frac{{ - 1}} = \frac{2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - a + 1 = 2b + 4}\\{2b + 4 = - c + 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 2b - 3}\\{c = - 2b - 1}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow M\left( { - 2b - 3;b; - 2b - 1} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;1;2} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {AC} = \left( { - 2;2;1} \right)\); \(\overrightarrow {AM} = \left( {a;b - 1;c} \right) = \left( { - 2b - 3;b - 1; - 2b - 1} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3; - 6;6} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AM} = - 3.\left( { - 2b - 3} \right) - 6\left( {b - 1} \right) + 6\left( { - 2b - 1} \right)\)\( = - 12b + 9\)

\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AM} } \right| = \frac{1}{6}\left| {12b - 9} \right| = \frac{1}{2}\left| {4b - 3} \right|\)

Theo bài ra ta có: \(\frac{1}{2}\left| {4b - 3} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = \frac{9}{4}}\\{b = - \frac{3}{4}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{M\left( { - \frac{2};\frac{9}{4}; - \frac{2}} \right)}\\{M\left( { - \frac{3}{2}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2}} \right)}\end{array}} \right.\).