Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oxy,\] cho hình vuông \[ABCD\] có diện tích bằng 10 và \[A \in d:x - y - 2 = 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CD:3x - y = 0.\] Với \({x_C} > 0\), số điểm \(C\) tìm được là

Đáp án C

Phương pháp giải:

Tham số hóa điểm \(A\)sau đó sử dụng công thức diện tích tìm \(A\). Viết phương trình \(CD\) và tính được \(D\).

Tham số hóa điểm \(C\) và dựa vào khoảng cách \(CD\) để tìm \(C\).

Giải chi tiết:

\(A \in d:x - y - 2 = 0 \Rightarrow A\left( {t;t - 2} \right)\)

\(S = A{D^2} = 10 \Rightarrow AD = \sqrt {10} \)

\( \Rightarrow d\left( {A,CD} \right) = AD = \frac{{\left| {3t - t + 2} \right|}}{{\sqrt {10} }} = \sqrt {10} \)

\( \Leftrightarrow \left| {2t + 2} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {t + 1} \right| = 5 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 4}\\{t = - 6}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{A\left( {4;2} \right)}\\{A\left( { - 6; - 8} \right)}\end{array}} \right.\)

TH1: \(A\left( {4;2} \right) \Rightarrow AD\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{qua{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} A\left( {4;2} \right)}\\{ \bot CD:3x - y = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow AD:x + 3y - 10 = 0\)

\(D = AD \cap CD \Rightarrow D:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3y - 10 = 0}\\{3x - y = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow D\left( {1;3} \right)\)

\(C \in CD:3x - y = 0 \Rightarrow C\left( {c;3c} \right)\)

\(CD = \sqrt {10} \Rightarrow {\left( {c - 1} \right)^2} + {\left( {3c - 3} \right)^2} = 10 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 2}\\{c = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{C\left( {2;6} \right)}\\{C\left( {0;0} \right)}\end{array}} \right.\)

TH2: \(A\left( { - 6; - 8} \right) \Rightarrow AD:x + 3y + 30 = 0\)

\( \Rightarrow D\left( { - 3; - 9} \right)\)

\(C\left( {c;3c} \right) \Rightarrow {\left( {c + 3} \right)^2} + {\left( {3c + 9} \right)^2} = 10 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = - 2}\\{c = - 4}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{C\left( { - 2; - 6} \right)}\\{C\left( { - 4; - 12} \right)}\end{array}} \right.\).