Cho hàm số \[y = \frac\] và điểm I(1;−1). Tìm tất cả các điểm M nằm trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với IM.

TXĐ: D=ℝ\{1}.

Gọi M(x0;x0+11−x0)(x0≠1) thuộc đồ thị hàm số y=x+11−x.

Ta có y=x+11−x⇒y'=2(1−x)2 nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M(x0;x0+11−x0) có hệ số góc là k=y'(x0)=2(1−x0)2.

⇒ Phương trình tiếp tuyến tại M là: y=2(1−x0)2(x−x0)+x0+11−x0⇔2(1−x0)2x−y−2x0(1−x0)2+x0+11−x0=0, có 1 VTCP là u→=(1;2(1−x0)2).

Ta có: IM→=(x0−1;x0+11−x0+1)=(x0−1;21−x0).

Vì tiếp tuyến tại M vuông góc với IM nên u→.IM→=0.

\[ \Leftrightarrow \left( {{x_0} - 1} \right) + \frac{4}{{{{\left( {1 - {x_0}} \right)}^3}}} = 0\]⇔4(1−x0)3=1−x0⇔(1−x0)4=4

⇔[1−x0=21−x0=−2⇔[x0=1−2x0=1+2

⇒ M(1+2;−1−2) và M(1−2;−1+2).

Đáp án A.