Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;−3). Hình chiếu của M tương ứng lên Ox,Oy,Oz,(Oyz),(Ozx),(Oxy)là A,B,C,D,E,F. Gọi P và Q tương ứng là giao điểm của đường thẳng OM với các mặt phẳng (ABC) và (DEF). Độ dài PQ bằng:

Theo bài ra ta có:

A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;-3), D(0;2;-3), E(1;0;-3), F(1;2;0).

Gọi P và Q tương ứng là giao điểm của đường thẳng OM với các mặt phẳng (ABC) và (DEF). Độ dài PQ bằng:

+ Ta có: OM→=(1;2;−3) là 1 VTCP của đường thẳng OM, nên phương trình đường thẳng OM là {x=ty=2tz=−3t.

+ Phương trình mặt phẳng (ABC) là x1+y2+z−3=1⇔6x+3y−2z−6=0.

Gọi OM∩(ABC)=P(p;2p;−3p) , ta có P∈(ABC) nên:

6p+3.2p−2.(−3p)−6=0⇔p=13

⇒P(13;23;−1).

+ Ta có: DE→=(1;−2;0);DF→=(1;0;3)⇒[DE→;DF→]=(−6;−3;2) là 1 VTPT của (DEF).

⇒ Phương trình mặt phẳng (DEF) là: −6x−3(y−2)+2(z+3)=0⇔−6x−3y+2z+12=0.

Gọi OM∩(DEF)=Q(q;2q;−3q) , ta có Q∈(DEF) nên:

\[ - 6q - 3.2q + 2\left( { - 3q} \right) + 12 = 0 \Leftrightarrow q = \frac{2}{3}\]

⇒Q(23;43;−2).

Vậy PQ=(13)2+(23)2+(−1)2=143.

Đáp án D.