Cho một hình trụ thay đổi nội tiếp trong một hình nón cố định cho trước (tham khảo hình vẽ bên). Gọi thể tích các khối nón và khối trụ tương ứng là V và V’. Biết rằng V’ là giá trị lớn nhất đạt được, khi đó tỉ số \[\frac{{V'}}{V}\] bằng:

Đặt tên các điểm như hình vẽ.

Gọi h,r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình nón.

Đặt  IO=MQ=NP=x (0

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

MQSO=AQAS=1−SQSA=1−QIOA⇒xh=1−IQr⇒IQ=(1−xh)r

Khi đó thể tích khối nón là V'=π.IQ2.QM=π.r2(1−xh)2.x=πr2h2.x(x−h)2.

Để V đạt giá trị lớn nhất thì x(x−h)2 phải đạt giá trị lớn nhất.

Đặt f(x)=x(x−h)2=x(x2−2hx+h2)=x3−2hx2+h2x , với \[0 < x < h\] ta có:

f'(x)=3x2−4hx+h2=0⇔[x=h(ktm)x=13h(tm)

⇒V'max=πr2h2.13h(13h−h)2=427πr2h

Vậy khi đó V'V=427πr2h13πr2h=49.

Đáp án A.